توضیحات
آموزش ریاضیات گسسته 2 شامل نظریه اعداد و جبر انتزاعی
نام دوره : Discrete Mathematics 2
پیشنیازها
ریاضیات دوره دبیرستان (عمدتاً حساب و جبر عمومی): تسلط بر محاسبات پایهای، توانها و معادلات خطی.
مفاهیم دوره ریاضیات گسسته ۱ (یا معادل دانشگاهی آن): درک اصولی منطق گزارهای، نظریه مجموعهها، توابع و نگاشتها، رابطههای همارزی، تکنیکهای اثبات و ترکیبیات مقدماتی.
اشتیاق به تفکر انتزاعی و حل مسئله گامبهگام: آمادگی برای تحلیل ساختارهای جدید جبری و حل ۴۱۲ مسئله تشریحی و کاربردی.
کاغذ، قلم و مشارکت فعال: تعهد به بازنویسی اثباتها، حل تمرینها و طرح ابهامات در بخش پرسش و پاسخ (Q&A) دوره.
توضیحات:
چرا دانشجویان مهندسی کامپیوتر، ریاضی و هوش مصنوعی پس از یادگیری مقدمات گسسته، نیازمند ورود به مباحث بخش دوم هستند؟
بسیاری از سازوکارهای امنیتی جهان اینترنت، از امضاهای دیجیتال تا الگوریتمهای بلاکچین و رمزنگاری دادهها، مستقیماً بر مبنای نظریه اعداد، همنهشتیها و ساختارهای گروهها و هیئتها عمل میکنند. بدون تسلط بر روشهای نوین شمارش و منطق پیمانهای، طراحی بهینه الگوریتمها و درک پیچیدگی محاسباتی ناممکن خواهد بود.
دوره «ریاضیات گسسته ۲» دومین قسمت از سهگانه دانشگاهی جامع ریاضیات گسسته است که با رویکردی صددرصد انسانمحور، بدون تولید محتوای ماشینی و در قالب ۲۲۲ ویدیوی آموزشی به همراه تحلیل تشریحی ۴۱۲ مسئله تدوین شده است. در این دوره، شما از ادامهی مباحث ترکیبیات و روشهای شمارش دوازدهگانه (Twelvefold Way) گذر میکنید، اثباتهای ترکیبیاتی خیرهکننده را فرا میگیرید، وارد کاربردهای احتمال گسسته میشوید، اسرار نظریه اعداد و الگوریتم اقلیدس را میآموزید، معادلات خطی همنهشتی در $\mathbb{Z}_n$ را حل میکنید و با سفری جذاب به جبر انتزاعی، با گروههای جایگشت، همریختیها و قضیه لاگرانژ آشنا میشوید.
سرفصلهای تخصصی و مهارتهای کسبشده (در قالب ۷ بخش تفصیلی)
بخش ۱: ساختار دوره و راهنمای پیگیری منابع: متدولوژی مطالعه بهینه همگام با کتاب مرجع و نحوه بهرهبرداری حداکثری از تمرینهای تشریحی.
بخش ۲: ترکیبیات پیشرفته و هنر شمارش (Combinatorics – ادامه DM1):
جایگشتها، تبدیلات و مدلسازی ریاضی مسائل شمارش.
شمارش توابع و شمارش پاسخهای صحیح معادلات جبری (روش ستارهها و میلهها).
تعمیم اصل شمول و طرد (Inclusion-Exclusion Principle) و شمارش پریشها (Derangements).
مقدمهای بر افرازها (Partitions)، ضرایب چندجملهای، اعداد استرلینگ و جدول طبقهبندی دوازدهگانه (Twelvefold Way).
بخش ۳: اثباتهای ترکیبیاتی و اتحادهای دوجملهای: متدهای اثبات اتحادهای ضرایب دوجملهای با استقرا، مجموعهای تلسکوپی و اثباتهای خالص ترکیبیاتی (دو شیوه شمارش برای یک پدیده).
بخش ۴: مقدمهای بر احتمال گسسته (Discrete Probability): پیوند ترکیبیات با نظریه احتمال، فضای نمونه، پیشامدهای سازگار و ناسازگار، پیشامدهای مستقل و وابسته، احتمال شرطی، و تعریف متغیرهای تصادفی و امید ریاضی (Expected Value).
بخش ۵: پایههای نظریه اعداد (Number Theory):
بخشپذیری، تجزیه به عوامل اول و غربال اراتستن.
الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگترین مقسومعلیه مشترک (GCD) و کوچکترین مضرب مشترک (LCM).
حل معادلات سیالهای (Diophantine Equations).
تابع فی اویلر (Euler’s Totient Function)، فرمول مجموع مقسومعلیهها و تبدیل مبناهای عددی (دودویی، دهدهی و هگزادسیمال).
بخش ۶: حساب پیمانهای و جبر همنهشتیها (Modular Arithmetic):
خواص جمع، ضرب و توانرسانی در پیمانهها؛ رابطه همنهشتی به عنوان یک رابطه همارزی.
آزمونهای بخشپذیری بر اعداد مختلف بر پایه همنهشتی.
حل معادلات و دستگاههای معادلات همنهشتی خطی در $\mathbb{Z}_n$ و قضیه باقیمانده چینی (CRT).
قضایای بزرگ: قضیه کوچک فرما (Fermat’s Little Theorem) با اثبات شگفتانگیز ترکیبیاتی، و قضیه جامع اویلر.
بخش ۷: درآمدی بر ساختارهای جبری انتزاعی (Abstract Algebra):
عملهای دوتایی، شرکتپذیری، جابهجایی، عناصر خنثی و وارون.
تعریف گروهها (Groups)، نیمگروهها، حلقهها (Rings) و میدانها (Fields).
زیرگروهها، گروههای دوری (Cyclic Groups) و ضرب دکارتی ساختارها.
گروههای جایگشتی (Permutation Groups) و تفسیر هندسی آنها.
نگاشتهای ساختاری: همریختیها (Homomorphisms)، یکریختیها (Isomorphisms) و قضیه لاگرانژ (Lagrange’s Theorem).
چرا باید در دوره آموزش ریاضیات گسسته 2 شامل نظریه اعداد و جبر انتزاعی شرکت کنید؟
حل تشریحی و گامبهگام ۴۱۲ مسئله کاربردی: تثبیت کامل مباحث امتحانی و رقابتی از طریق تمرینهای متنوع استاندارد بینالمللی.
پل ارتباطی محکم به امنیت شبکه و رمزنگاری: یادگیری همان قضایای ریاضی که سنگبنای سیستمهای رمزگذاری مدرن را تشکیل میدهند.
تدریس شفاف و ارگانیک توسط استاد: تدریس زنده و بدون ابزارهای ماشینی جهت درک ظرافتهای اثبات و الگوهای استدلال منطقی.
دوره آموزش ریاضیات گسسته 2 شامل نظریه اعداد و جبر انتزاعی برای چه کسانی مناسب است؟
دانشجویان مهندسی کامپیوتر و علوم داده: افرادی که نیازمند درک عمیق محاسبات ماتریسی، رمزنگاری، نظریه زبانها و تحلیل الگوریتم هستند.
دانشجویان رشتههای ریاضی و آمار: داوطلبانی که میخواهند از مباحث پایه به سمت جبر انتزاعی و نظریه اعداد دانشگاهی پل بزنند.
متخصصان هوش مصنوعی و یادگیری ماشین: پژوهشگرانی که برای درک ساختارهای فضاهای برداری، احتمالات گسسته و ترکیبیات به این اصول تکیه میکنند.
داوطلبان المپیادهای کامپیوتر و ریاضی: دانشآموزان و دانشجویانی که قصد دارند تکنیکهای پیشرفته شمارش، همنهشتی و نظریه اعداد را فرا بگیرند.
یودمی ایران –
دوره درخواستی خود را از راه های ارتباطی درخواست کنید